пусть любой вектор х определен таким образом: х = (х1, х2, х3), где х1, х2, х3 - это координаты вектора х 

Тогда, по определению векторного сложения

[a b] =
| i       j       k |
| a1  a2    a3|
| b1  b2    b3|
= (a2*b3)i +(a3*b1)j +(a1*b2)k - (a2*b1)k - (a3*b2)i - (a1*b3)j =
= (a2*b3 - a3*b2)i + (a3*b1 - a1*b3)j + (a1*b2 - a2*b1)k

[c d] =
| i       j       k |
| c1  c2    c3 |
| d1  d2    d3|
= (c2*d3)i +(c3*d1)j +(c1*d2)k - (c2*d1)k - (c3*d2)i - (c1*d3)j =
= (c2*d3 - c3*d2)i + (c3*d1 - c1*d3)j + (c1*d2 - c2*d1)k

Вектор, который получается в результате векторного произведения [a b] имеет следующие координаты
( a2*b3 - a3*b2 ; a3*b1 - a1*b3; a1*b2 - a2*b1)

Вектор, который получается в результате векторного произведения [с d] имеет следующие координаты 
( c2*d3 - c3*d2 ; c3*d1 - c1*d3; c1*d2 - c2*d1)

По определению скалярного произведения имеем, что
([a b] [с d]) = ( a2*b3 - a3*b2)(c2*d3 - c3*d2) + (a3*b1 - a1*b3)(c3*d1 - c1*d3) + (a1*b2 - a2*b1) (c1*d2 - c2*d1) =

= (a2*b3)*(c2*d3) - (a2*b3)*(c3*d2) - (a3*b2)*(c2*d3) + (a3*b2)*(c3*d2) +
+ (a3*b1)*(c3*d1) - (a3*b1)*(c1*d3) - (a1*b3)*(c3*d1) + (a1*b3)*(c1*d3) + 
+ (a1*b2)*(c1*d2) - (a1*b2)*(c2*d1) - (a2*b1)*(c1*d2) + (a2*b1)*(c2*d1) = 

сводим одинаковые индексы и произведения вместе
= (a2*c2*b3*d3) + (a3*c3*b2*d2) + (a3*c3*b1*d1) + (a1*c1*b3*d3) + (a1*c1*b2*d2) + (a2*c2*b1*d1) -
- (a2*d2*b3*c3) - (a3*d3*b2*c2) - (a3*d3*b1*c1) - (a1*d1*b3*c3) - (a1*d1*b2*c2) - (a2*d2*b1*c1) = 

выделяем одинаковые индексы
= (a1*c1)*(b3*d3) + (a1*c1)*(b2*d2) + (a2*c2)*(b3*d3) + (a2*c2)*(b1*d1) + (a3*c3)*(b2*d2) + (a3*c3)*(b1*d1)  + 
- (a1*d1)*(b3*c3) - (a1*d1)*(b2*c2) - (a2*d2)*(b3*c3) - (a2*d2)*(b1*c1) -  (a3*d3)*(b2*c2) - (a3*d3)*(b1*c1) = 

выносим общую пару у пар одинаковых индексов
= (a1*c1)*(b2*d2 + b3*d3) +
+ (a2*c2)*(b1*d1 + b3*d3) +
+ (a3*c3)*(b1*d1+ b2*d2) -
- (a1*d1)*(b2*c2 + b3*c3) -
- (a2*d2)*(b1*c1 + b3*c3) - 
- (a3*d3)*(b1*c1 + b2*c2) = 

добавляем в каждой скобке то, чего не хватает для скалярного произведения (но, чтобы что то добавить там, где ничего для появления этого нету, это что то нужно и отнять, чтобы не нарушить состояние "ничего ж не было" )
= (a1*c1)*( (b1*d1 - b1*d1) + b2*d2 + b3*d3) + 
+ (a2*c2)*(b1*d1 + (b2*d2 - b2*d2) + b3*d3) + 
+ (a3*c3)*(b1*d1+  b2*d2 + (b3*d3 - b3*d3) ) -
- (a1*d1)*( (b1*с1 - b1*с1) + b2*c2 + b3*c3) -
- (a2*d2)*(b1*c1 + (b2*с2 - b2*с2) +b3*c3) - 
- (a3*d3)*(b1*c1 + b2*c2 + (b3*с3 - b3*с3) ) = 

выносим из скобок то, что нам в них не нужно для скалярного произведения
= (a1*c1)*(b1*d1 + b2*d2 + b3*d3)  - (a1*c1)*(b1*d1) +
+ (a2*c2)*(b1*d1 + b2*d2 + b3*d3) - (a2*c2)*(b2*d2) +
+ (a3*c3)*(b1*d1+  b2*d2 + b3*d3) - (a3*c3)*(b3*d3) -
- (a1*d1)*(b1*с1 + b2*c2 + b3*c3) - (a1*d1)*(-(b1*с1)) - 
- (a2*d2)*(b1*c1 + b2*с2 +b3*c3) - (a2*d2)*(-(b2*с2)) - 
- (a3*d3)*(b1*c1 + b2*c2 + b3*с3) - (a3*d3)*(-(b3*с3)) =

= (a1*c1)*(b1*d1 + b2*d2 + b3*d3)  - (a1*b1*c1*d1) +
+ (a2*c2)*(b1*d1 + b2*d2 + b3*d3) - (a2*b2*c2*d2) +
+ (a3*c3)*(b1*d1+  b2*d2 + b3*d3) - (a3*b3*c3*d3) -
- (a1*d1)*(b1*с1 + b2*c2 + b3*c3) + (a1*b1*с1*d1) - 
- (a2*d2)*(b1*c1 + b2*с2 +b3*c3) + (a2*b2*с2*d2) - 
- (a3*d3)*(b1*c1 + b2*c2 + b3*с3) + (a3*b3*с3*d3) =

= (a1*c1)*(b1*d1 + b2*d2 + b3*d3)   +
+ (a2*c2)*(b1*d1 + b2*d2 + b3*d3)  +
+ (a3*c3)*(b1*d1+  b2*d2 + b3*d3)  -
- (a1*d1)*(b1*с1 + b2*c2 + b3*c3)  - 
- (a2*d2)*(b1*c1 + b2*с2 +b3*c3)  - 
- (a3*d3)*(b1*c1 + b2*c2 + b3*с3) +
 + (a1*b1*с1*d1) - (a1*b1*c1*d1)+
+ (a2*b2*с2*d2) - (a2*b2*c2*d2) +
+ (a3*b3*с3*d3) - (a3*b3*c3*d3) =

= (a1*c1)*(b1*d1 + b2*d2 + b3*d3) +
+ (a2*c2)*(b1*d1 + b2*d2 + b3*d3) +
+ (a3*c3)*(b1*d1+  b2*d2 + b3*d3)  -
- (a1*d1)*(b1*с1 + b2*c2 + b3*c3)  - 
- (a2*d2)*(b1*c1 + b2*с2 +b3*c3)  - 
- (a3*d3)*(b1*c1 + b2*c2 + b3*с3) +
+ 0 +
+ 0 +
+ 0 =

= (a1*c1)*(b1*d1 + b2*d2 + b3*d3) +
+ (a2*c2)*(b1*d1 + b2*d2 + b3*d3) +
+ (a3*c3)*(b1*d1+  b2*d2 + b3*d3)  -
- (a1*d1)*(b1*с1 + b2*c2 + b3*c3)  - 
- (a2*d2)*(b1*c1 + b2*с2 +b3*c3)  - 
- (a3*d3)*(b1*c1 + b2*c2 + b3*с3)  =

= (b1*d1+  b2*d2 + b3*d3)*(a1*c1 + a2*c2 + a3*c3) - 
- (b1*с1 + b2*c2 + b3*c3)*(a1*d1 + a2*d2 + a3*d3) =

=(a1*c1 + a2*c2 + a3*c3)*(b1*d1+  b2*d2 + b3*d3) - 
- (b1*с1 + b2*c2 + b3*c3)*(a1*d1 + a2*d2 + a3*d3) =

= (a c)*(b d) - (b c)*(a d) = 

=
|(a c) (a d)|
|(b c) (b d)|