Решение. 
Обозначим трапецию как ABCD. Обозначим длины оснований трапеции как  a (большее основание AD) и b (меньшее основание BC). Пусть прямым углом будет ∠A. 

Площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции, будет равна 
S = ab 

Из вершины C верхнего основания трапеции ABCD опустим на нижнее основание высоту CK. Высота трапеции известна по условию задачи. Тогда, по теореме Пифагора 
CK2 + KD2 = CD2 

Поскольку большая боковая сторона трапеции по условию равна сумме оснований, то CD = a + b 
Поскольку трапеция прямоугольная, то высота, проведенная из верхнего основания трапеции разбивает нижнее основание на два отрезка AD = AK + KD. Величина первого отрезка равна меньшему основанию трапеции, так как высота образовала прямоугольник ABCK, то есть BC = AK = b,  следовательно, KD будет равен разности длин оснований прямоугольной трапеции KD = a - b.
то есть 
122 + (a - b)2 = (a + b)2 
откуда 
144 + a2 - 2ab + b2 = a2 + 2ab + b2 
144 = 4ab 

Поскольку площадь прямоугольника S = ab (см. выше), то 
144 = 4S 
S = 144 / 4 = 36 

Ответ: 36 см2 .