Рисунок с расставленными обозначениями отправил по почте (вложения так и не работают).

Сначала нужно решить сам тр-к АВС чтобы найти r- радиус вписанной в АВС окр-ти. (О - т. пересечения биссектрис).

sinB = (4кор3)/7,  sinA = (5кор3)/14, угол С = 60 град.

АВ = 7,  ВС = 5. Подробности опускаю. Все проделывается элементарно по т. синусов. АС = 8 - по условию.

S(ABC) = (1/2)АС*ВС*sin60 = 10кор3.

S(АВС) = pr = (8+5+7)r/2 = 10r.

Значит r = кор3.

Угол С/2 = 30 град.

Из тр.OLC:  LC = r/tg30 = 3.   OC = 2r = 2кор3.   AL = 8-3 = 5.

Тр. OPD подобен тр. OcEP. Угол PDO = EPOc = A + (C/2) = A + 30

OD = r/sin(A+30) = r/[sinA*cos30 + cosA*sin30] = (14кор3)/13,

То есть sin(A+30) = 13/14

Тогда OcD= 14(Rc)/13. (Rc) - радиус окр-ти с центром Oc.

Теперь гипотенуза большого тр-ка СFOc:

СOc = OC + OD + OcD = 2кор3 + (14кор3)/13 + 14(Rc)/13.

С другой стороны:

COc = (Rc)/sin30 = 2(Rc)

Приравняв, найдем (Rc):

(Rc) = (10кор3)/3

Тогда расстояние ОсО легко вычислить из прямоуг. трапеции OcOLF, проведя высоту из т.О на основание OcF:

OcO = ((Rc) - r )/sin30 = (14кор3)/3

Заметим, что FC = (Rc) / tg30 = 10Теперь аналогичные манипуляции проделаем с другой окружностью - Оа.

Там пригодится найти sin(A/2)  и  cos(A/2)(через косинус двойного угла А):

sin^2(A/2) = (1-cosA)/2.   Sin(A/2) = (кор3)/кор28

cos(A/2) = 5/кор28

sinHQOa = sin(60 + (A/2)) = (3кор3)/кор28

Теперь распишем составляющие гипотенузы АОа:

АОа = АО + ОМ + МОа = 5/(cos(A/2))  +  r/(sin(A/2 +60)) + (Ra)/(sin(A/2 +60)).

С другой стороны:

АОа = (Ra) / sin(A/2) = ((Ra)кор28)/кор3.

Приравняв и решив уравнение, получим:

(Ra) = 2кор3

Заметим, что АК = (Ra)/tg(A/2) = 10

Значит:

FK = 2+8+2 = 12.

Завершающий шаг:

Из прям. трапеции FKOaOc найдем ОаОс:

ОaОс^2 = 144 + ((Rc)-(Ra))^2 = 144 + 16/3

ОаОс = кор(448/3) = (8кор21)/3

Ответ: ОаОс = (8кор21)/3; ОсО = (14кор3)/3.