1). S1/S2 = (r/R)^2

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу опис. окр -ти, а радиус r впис. окружности(высота, опущенная на сторону) равен (Rкор3)/2.

S1/S2 = 3/4.

2)Распишем площадь тр-ка А1А4А5:

S1 = (1/2)*А1А5 * А1А4* sin(45/2), т.к. угол А4А1А5 = А4ОА5/2 = (360/8)/2 = 45/2.

А1А5 = 2R -большая диагональ 8-гольника равна диаметру описанной окр-ти.

А1А4 = 2R*cos(45/2)

Выражаем площадь:

S1 = (1/2)*2R*2Rcos(45/2)*sin(45/2) = R^2 *sin45 = (R^2кор2)/2 ;

Но по условию она равна 8кор2.

(R^2кор2)/2 = 8кор2.

Отсюда R = 4

Теперь переходим к тр-ку  А1А4А6:

S = (1/2)(A1A4)^2 *sin45 ,т.к. А1А4 = А1А6 = 2Rcos(45/2)

Найдем cos(45/2) = кор((1+cos45)/2) = (кор(2+кор2))/2

S = (1/2) R^2*(2+кор2)*(кор2)/2 = 8(1+кор2)

((кор2)-1)S = 8

Ответ: 8.

3) Это прямоугольник, так как углы его опираются на главные диагонали - диаметр описанной окружности.S = a*A1A6 = (2Rsin(45/2))*(2Rsin(135/2) = (2Rsin(45/2)*(2Rcos(45/2)) = 2R^2 sin45 = R^2 *кор2.

Найдем R^2:

А4А6 = 2Rsin45 = Rкор2

А4А6^2 = 2R^2 = 289кор2

R^2 = (289кор2)/2.

Теперь находим площадь:

S = R^2 кор2 = 289

Ответ: 289