1) Сначала найдем катеты треугольника. Пусть CD - середина стороны АС. Тогда  СD = BC/2. Согласно теореме Пифагора

ВС²+(BC/2)² =5*BC²/4=(3*√10)²=90 , откуда  ВС²=72  и  ВС=6*√2

Тогда АВ=ВС*√2=12 см. Треугольник АМС - равнобедренный прямоугольный (вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой, угол САМ = 45⁰.

Следовательно АМ=АС/√2=6 см и ВМ=6 см.

2) Площадь трапеции  S = АС * BD / 2 = 10 * 24 / 2 = 120 cm²

Сумма оснований - гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты  которого - диагонали трапеции.

Она равна  √(10²+24²)=√676=26 см.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть 26/2=13 см.

3) С одной стороны S = p * r , где р - полупериметр треугольника, а r - радиус вписанной окружности.

С другой стороны  S = AC * h / 2.

Поскольку отрезок, соединяющий точку пересечения медиан с центром вписанной в него окружности, параллелен стороне АС, то r = h / 3.

Следовательно  р = 3 * АС / 2 = 1,5 см., а периметр треугольника - 3 см.

1.  Радиус указанной окружности равен половине катета.

Из пр. тр-ка ВОС (О - центр окр):

OC^2 + BC^2 = BO^2

r^2 + 4r^2 = 90

r^2 = 18

Теперь найдем квадрат гипотенузы:

AB^2 = 4r^2 + 4r^2 = 8r^2 = 144

Значит АВ = 12

Отрезок ОМ - является радиусом и равен половине катета ВС, значит ОМ - средняя линия тр. АВС и точка М - середина гипотенузы.   Значит ВМ = 6

Ответ: ВМ = 6.

2.Пусть АС = 24, BD = 10

Пусть АО = х, ОС = 24-х, ОД = у, ВО = 10-у.

Тогда из подобия тр-ов АОД и ВОС получим:

х/(24-х)  =  у/(10-у)    или   10х = 24у    у/х = 10/24 = 5/12

Но у/х = tg CAD.(из прям. тр-ка AOD). Найдем сначала cos CAD , а затем и sin CAD:

1 + tg^2(CAD) = 1/(cos^2(CAD))

cos CAD = 12/13     sin CAD = 5/13

Проведем высоту СМ. Из пр. тр. АСМ:

CM=h=AC*sin CAD = 120/13.

Площадь выпуклого 4-ника:

S = (d1d2sina)/2 = 120    (sina = sin90 = 1)

С другой стороны:

S = z *h,  где z - искомая средняя линия.

Z = S/h = 120/(120/13) = 13.

Ответ: 13.

3.Для решения нужен подробный чертеж. Пришлите эл. адрес, вышлю фотки...