Сделаем рисунок. 
а) В ∆ АВС отрезок EF соединяет середины сторон АВ и АС⇒
 EF– средняя линия.⇒

ЕF и  ВС параллельны. Отрезок MN - секущая при них. 

Соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей равны. ∠NDF=∠NMC 

По свойству касательных из одной точки СМ=CN и ∆ МСN- равнобедренный. ⇒ углы при его основании MN равны ( свойство). 

∠NDF=∠NMC; ∠NMC=∠MNC ⇒ 

∠NDF=∠MNC. По признаку равнобедренного треугольника МF=DF.

∆ MDF- равнобедренный. 

б)
На ВС отметим середину Р и проведем РF.
PF соединяет середины сторон треугольника, ⇒ PF параллельна АВ и равна  АВ:2
PF=ВЕ=10
В четырёхугольнике ВЕFP противоположные стороны взаимно параллельны. ⇒
 ВЕFP – параллелограмм
Из т.D проведем DK║PF и получим параллелограмм DKPF., DK=PF=BE

Отметим на АВ точку касания с окружностью буквой Т

Проведем ЕК. Для ∆ ВЕК окружность - вневписанная.

Отметим на ЕК точку Н - точку касания с окружностью.  

ЕТ=ЕН, HК=KN, а так как ВТ=ВN, то ЕТ=КN ( расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности с продолжением его боковой стороны равно полупериметру )=> 

ВК=ВЕ=10 (из равных отрезков ВТ и ВN- вычли равные ЕТ и КN)

Но ВК=ЕD. Параллелограмм ВЕDК - ромб. 

S (BEDK)=BE²•sin∠EBK=100•√3/2=50√3

S(BED)=S(BEDK):2=25√3 (ед. площади)