I. 1). В треугольнике ABC рассмотрим треугольник ABE. В треугольнике ABE по условию AD=DE, т.е. т. D - середина стороны AE⇒отрезок BD в треугольнике ABE является его медианой. По свойству медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники - треугольники с равной площадью). Т.е. имея медиану BD, получаем, что S(ABD)=S(EBD).

2). Аналогично в треугольнике ABC рассмотрим треугольник CBD. В треугольнике CBD по условию DE=EC, т.е. т. E - середина стороны DC⇒отрезок BE в треугольнике CBD является его медианой. По свойству медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Т.е. имея медиану BE, получаем, что S(CBE)=S(EBD).

3) Объединив первый и второй пункты, получаем:

S(ABD)=S(EBD);

S(CBE)=S(EBD);

Отсюда следует, что S(EBD)=S(ABD)=S(CBE), что и требовалось доказать.

II. Т.к. S(ABC)=S(ABD)+S(EBD)+S(CBE), а эти три площади равны (мы доказали это в предыдущей части задачи), то S(ABC)=3*S(ABD)⇒S(ABD)=1/3*S(ABC);

S(ABE)=S(ABD)+S(EBD)=2*S(ABD) (т.к. площади равны);

Если S(ABC)=27, то S(ABD)=27/3=9, а S(ABE)=2*9=18 см²;

Если S(ABC)=21, то S(ABD)=21/3=7, а S(ABE)=2*7=14 см²;

Ответ: 1). Доказано; 2). а). S(ABE)=18 см², б). S(ABE)=14см².