1). Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD. Из точки С опустим высоту СH на сторону AD;

2). Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. ∠CAH=45° по условию, тогда ∠ACH=180°-∠CAH-∠CHA=180°-45°-90°=45° (сумма углов треугольника равна 180°). Получаем, что ∠CAH=∠ACH=45°⇒прямоугольный треугольник ACH равнобедренный⇒AH=HC.

3). Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ACH. По теореме Пифагора:

AH²+HC²=AC²;

Т.к. из пункта 2 следует, что AH=HC, то:

2*AH²=AC²;

Т.к. AC=8√2 по условию, то:

2*AH²=128;

AH²=64;

AH=HC=8;

4). Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD. Из точки B опустим высоту BL на сторону AD;

5). Рассмотрим прямоугольный треугольник ALB. По теореме Пифагора:

AL²+BL²=AB²

В равнобедренной трапеции ABCD высоты BL и CH равны и параллельны, как расстояния между параллельными прямыми BC и AD. BL=CH=8 (из пункта 3). Тогда:

AL²+64=AB²;

6). В равнобедренной трапеции ABCD фигура BLHC - прямоугольник, т.к. BL=CH и BL || CH⇒BC=LH, как противоположные стороны прямоугольника;

7). AL=AH-LH=AH-BC. Т.к. AH=8 (пункт 3), то AL=8-BC;

8). Подставив вычисления из пункта 7 в пункт 5, получаем:

(8-BC)²+64=AB²

9). Т.к. по условию AB-BC=8, то AB=8+BC, тогда:

(8-BC)²+64=(8+BC)²;

64-16*BC+BC²+64=64+16*BC+BC²;

-16*BC+64=16*BC

32*BC=64

BC=2

Т.к. BC=LH (пункт 6), то LH=2

10). Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD. Прямоугольный треугольник ABL равен прямоугольному треугольнику DCH по катету и прилежащему к нему острому углу, а именно:

а). AB=CD, т.к. трапеция ABCD равнобедренная;

б). ∠BAL=∠CDH, т.к. трапеция ABCD равнобедренная.

Из равенства треугольников следует равенство соответственных элементов, т.е. AL=HD, как соответственные катеты.

11). Рассмотрим сторону AD в равнобедренной трапеции ABCD.

AD=AL+LH+HD;

AL=HD=AH-LH;

Из пункта 3 AH=8, из пункта 9 LH=2, тогда:

AL=HD=8-2=6;

AD=6+2+6=14, что и требовалось найти.

Ответ: AD=14.