Рассмотрим четырёхугольник ABCD, его диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит он параллелограмм, значит его противоположные стороны параллельны, чтд.

Подробнее: Пусть O - точка пересечения, тогда треугольники AOD и BOC подобны по углу и отношению двух пар сторон(1=AO/OB=DO/OC, а углы равны как вертикальные при AB и CD). Подобие даёт равенство всех соответствующих углов, в частности углы OAD и OBC равны, а они являются накрест лежащими для прямы AD и BC, и секущей AB.