1)  tg ∠KOL = KL/KO

√3 = х/ 6

х = 6√3

KL = 6√3

(можно делать и через косинус, а потом по теореме пифагора находить KL. Но через тангенс намного быстрее.)

*Для справки

tg30°= √3/3          ctg30°= √3

tg45°= 1                 ctg45°= 1

tg60°= √3              ctg60°= √3/3

2)  MN - касательная к окружности. ⇒ MN⊥ON. Значит ΔMNO - прямоугольный.

Известно, что NO = 9. MO = 18. ⇒ NO = 1/2 MO.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30 градусам.

Значит ∠MNO = 30°

ΔMKO - прямоугольный, т.к. касательная MK⊥KO

Рассмотрим ΔMNO И ΔMKO

1) KO=NO - радиусы окружности

2) MK = MN - касательные к окружности проведенные из 1 точки.

То треугольники равны по двум катетам

Значит ∠KMO= ∠NMO = 30° ⇒ ∠ NMK = 60°

3) Рассмотрим ΔBAO

1) OA=OB - радиусы окружности

2) OA = AB - по рисунку

3) OB = AB  ( т.к.  OA=OB, OA = AB)

Значит ΔBAO - равносторонний. И его углы равны 60°

CA - касательная к окружности

СА⊥ОА

∠OAB + ∠BAC = 90°

Мы доказали, что ∠OAB = 60°

То ∠BAC = 90-60 = 30°

∠BAC = 30°

4) Рассмотрим ΔBAO

1) OA=OB - радиусы окружности

2) OA = AB - по рисунку

3) OB = AB  ( т.к.  OA=OB, OA = AB)

Значит ΔBAO - равносторонний. И его углы равны 60°

CA - касательная к окружности

СА⊥ОА

∠OAB + ∠BAC = 90°

Мы доказали, что ∠OAB = 60°

То ∠BAC = 90-60 = 30°

AM = MB - касательные к окружности проведенные из одной точки.

То ΔAMB  - равнобедренный, углы при основании равны

Значит ∠BAC = ∠ ABM = 30°

Cумма углов треугольника 180°

Значит ∠AMB = 180-30-30 = 120°

∠AMB = 120°

5) MO⊥MN ( касательная проведенная к окружности перпендикулярна ее радиусу) Значит ΔMNO - прямоугольный

По Теореме Пифагора найдем MN

NO²-MO²= MN²

MN = √15²-12² = √225-144 = √81 = 9м

MN=9м