Проведём высоту bo. Угол CBO= 180-60-90=30. В прямоуг. треуг. против угла 30° лежит катит равный 0.5 гипотезы. OB=20×0.5=10. OB²= 20²-10²=300. OB=корень300. Угол ОВА=180-90-45=45.Треуг. OBA равноб. прямоугольный т. к. ОВА=ОАВ. ОВ=ОА=корень300. ВА=корень300+ 10

Дано: ∠ACB=60°; ∠CAB=45°; BC=20.

Найти: AC=?

Решение: 1) Опустим высоту из ∠В на сторону АС в точку D. От этого ΔABC делится на два прямоугольных треугольника - ΔCDB и ΔBDA.

2) рассмотрим ΔCDB. Так как ∠CDB=90°; ∠BCD=60°, то ∠CBD=180°-(60°+90°)=30°

3) Так как BC=20, и при этом является гипотенузой, то катет напротив ∠CDB=30° будет равен половине гипотенузы:

4) Для дальнейшего решения задачи нам необходимо узнать сторону BD. Для этого можно использовать теорему синусов. В данном случае нам пригодится синус угла, противолежащего стороне BD, а именно угла BCD, который равен 60°. Табличное значение . Для нахождения применим метод пропорций: .

5) рассмотрим ΔBDA. Так как ∠BDA=90°, ∠DAB=45°; то ∠DBA=45°.

Если ∠DAB=∠DBA=45°, то ΔBDA равнобедренный с основанием BA

6) Так как ΔBDA равнобедренный, то стороны BD и DA равны. Нам известна сторона BD, равная 10√3, следовательно BD=DA=10√3.

7) Чтобы найти сторону CA, необходимо сложить значения сторон СD и DA, равные 10 и 10√3 соответственно:

Ответ: CA=10√3+10=10(1+√3)