Прошу модераторов не удалять задачу. Условие в ней дано с ошибкой. Причем эта задача  даже на учительском ресурсе Фестиваль  дана с таким же ошибочным условием. 
Т.к. медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то гипотенуза равна 2*10=20 см. 
Если  из  площади находить высоту этого треугольника по формуле 
S=a*h:2, то 
h= 2S:а
h=560:20=28 см при том, что гипотенуза равна 20, чего не может быть. 
---------------
При площади данного треугольника равной 28 см²
h=56:20=2,8 см
Тогда неважно, какой катет будет избран для того, чтобы определить расстояние от его середины до гипотенузы.
Искомое расстояние ( см. рисунок) ВС в треугольнике НАМ или ТР в треугольнике КАН будет равным половине высоты, проведенной из прямого угла к гипотенузу КМ, т.к. является средней линией каждого из этих треугольников. 
Т.е. расстояние от середины любого катета до гипотенузы равно
  2,8:2=1,4 см