Дан треугольник ΔАВС: ∠С = 80°; АС = b = 15 км; ВС = а = 8 км.

Требуется найти разность (a + b) - c.

-----------------------

1 способ.

По теореме косинусов:

Для плоского треугольника, у которого стороны a, b, c и угол α, который противолежит стороне a, справедливо соотношение:

               a² = b² + c² – 2bc cosα.

Применительно к треугольнику на рисунке:

               c² = a² + b² - 2ab cos80°

Тогда:

               c² = 8² + 15² - 2·8·15·0,174 = 247,24

               с = √247,24 ≈ 15,7 (км)

Найдем разность между двумя расстояниями:

                  a + b - c = 15 + 8 - 15,7 = 7,3 (км)

-------------------------

2 способ.

Проведем высоту h на сторону АС.

Получили две проекции сторон АВ и СВ на сторону АС:  

                c(b) = АН  и a(b) = СН

Стороны и их проекции в произвольном треугольнике связаны соотношением:

                           a² = b² + c² - 2b·c(b)

Тогда:

                          с² = a² - b² + 2b·c(b)

Проекцию с(b) найдем из разности:

                         с(b) = b - a(b) = b - a·cos80° = 15 - 8·0,174 ≈ 13,6 (км)

Подставим все значения в формулу:

                    с² = a² - b² + 2b·c(b) = 64 - 225 + 2 · 15 · 13,6 = 247

                    с = √247 ≈ 15,7 (км)

Найдем разность между двумя расстояниями:

                  a + b - c = 15 + 8 - 15,7 = 7,3 (км)

Ответ: путь из А в В сократился примерно на 7,3 км