Ответ:

1) Sбок=240 см²

Sпол=290 см²

2) ВB₁=96:24=4 см

3) Sпол=Q(3+ctgα√3/2)

4)  4 вершин и 10 граней

Объяснение:

1) ABCDA₁B₁C₁D₁-правильная призма, AB₁=13 см, BB₁=5 см

ABCDA₁B₁C₁D₁-правильная призма⇒её основание квадрат, а боковые грани-прямоугольники.

∠AВB₁=90°, тогда по теореме Пифагора

AB²=AB₁²- BB₁²=13²-5²=169-25=144⇒AB=12 см

Sбок=ВB₁•Росн=ВB₁•4АВ=5•4•12=240 см²

Sосн=АВ²=5²=25 см²

Sпол=Sбок+2Sосн=240+2•25=240+50=290 см²

2) ABCDA₁B₁C₁D₁-прямая призма,ABCD-ромб, Sбок=96 кв.см

Sпол=132 кв.см, ∠BAD=30°

Sпол=Sбок+2Sосн

132=96+2Sосн

2Sосн=132-96=36

Sосн=18

ABCD-ромб, тогда 18=Sосн=АВ²sin∠BAD=АВ²sin30°=0,5АВ

АВ²=36⇒АВ=6

Sбок=ВB₁•Росн

96=ВB₁•4АВ=ВB₁•4•6⇒ВB₁=96:24=4 см

3) ABCA₁B₁C₁-правильная призма, ∠ABА₁=α, S( ABA₁B₁)=Q

ABCDA₁B₁C₁D₁-правильная призма⇒её основание правильный ΔABC, а боковые грани-прямоугольники.

∠ВАА₁=90°⇒AА₁/AB=tg∠ABА₁=tgα⇒AА₁=ABtgα

Q=S( ABA₁B₁)=AB·AА₁=AB²tgα

AB²=Qctgα⇒AB=√(Qctgα)

AА₁=tgα√(Qctgα)=√(Qtgα)

Sосн=AB²√3/4=Qctgα√3/4

Sбок=3S( ABA₁B₁)=3Q

Sпол=Sбок+2Sосн=3Q+2Qctgα√3/4=Q(3+ctgα√3/2)

4) Пусть данный многогранник имеет к вершин, m рёбер и  n граней. Тогда по теореме Эйлера m+2=k+n

По условию задачи имеем: m=3k, m=12

k=4 вершин

n=m+2-k=12+2-4=10 граней