Размещено 4 года назад по предмету Геометрия от igorShap

Существует ли треугольник с углами x, y, z такой, что tgx=cosy=sinz ?

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан guvanch021272

Ответ:
да
Объяснение:
решение на фото
1. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан guvanch021272
  
  Есть такой треугольник
2. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан guvanch021272
  
  С углами, приблизительно, 24, 42, 114 градусов
Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан LordTutus

Т.к. x, y, z ∈ (0;π), то: sinx, siny, sinz > 0.
По теореме о сумме углов треугольника: z=π-(x+y).
sin z =sin (π-(x+y)) = sin (x+y) = sinx*cosy+cosx*siny = cosy (последнее равенство по условию).
Отсюда: tgy = (1-sinx)/cosx. Выражаем tgy через cosy, cosx через tgx:
$tan y = frac{ sqrt{1-cos^2 y}}{cos y} = sqrt{1+tan^2 x} - tan x$ . Здесь учтено, что tgy>0, т.к. cosy, siny>0.
Используя равенство: tgx = cosy.
$frac{sqrt{1-cos^2y}}{cos y} = sqrt{1+cos^2 y} - cos y$
Произведем замену: cosy = t>0:
$frac{sqrt{1-t^2}}{t} = sqrt{1+t^2} - t$ . (1)
Возведем в квадрат, домножив на t²:
$1-t^2 = t^2(1+t^2) + t^4 - 2t^3sqrt{1+t^2}$ .
Упростим:
$2t^3sqrt{1+t^2} = 2t^2(t^2+1) - 1$ .
Еще раз возведем в квадрат:
$4t^6(1+t^2) = 4t^4(t^2+1)^2 + 1 - 4t^2(t^2+1)$ .
Упростим:
$4t^6 - 4t^2+1=0$ .
Заменив $t^2 = varphi >0$ получим кубическое уравнение относительно φ:
$varphi^3 - varphi + frac{1}{4} = 0$ . (2)
График f(φ) на рисунке.
Для решения воспользуемся формулой Виета.
$Q=frac{1}{3}$ , $R=frac{1}{8}$ . Т.к. R²=0.016<Q³≈0.037, то существуют 3 действительных корня:
$xi= frac{1}{3}arccos (frac{R}{sqrt{Q^3}}) simeq frac{1}{3} arccos 0.66 simeq 0.28$
$varphi_1 = -2 sqrt{Q} cos xi simeq -2*0.58 *0.96 = -1.1$
$varphi_2 = -2 sqrt{Q} cos (xi+frac{2pi}{3}) simeq -2*0.58 *(-0.72)= 0.84$
$varphi_3 = -2 sqrt{Q} cos (xi-frac{2pi}{3}) simeq -2*0.58 *(-0.24)= 0.27$
Исходное уравнение (1) неэквивалентно уравнению (2) (не все решения (2) являются решениями (1)), т.к. в процессе преобразования мы возводили части уравнения в четную степень.
Поэтому полученные корни следует отсеять.
φ₁ не подходит, т.к. φ>0.
Подставим t²=φ₃ в (1). Равенство неверно. Значит φ₃ не корень (1).
Подставим t²=φ₂ в (1). Равенство верно. Значит φ₂ корень (1).
Отсюда: cos y = t = √(φ₂) ≈ 0.91.
Находим углы треугольника: y≈24°, x≈42°, z≈114°.