Ответ:

«Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Вписанный треугольник

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:

Вписанный четырехугольник  Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна 180∘

180​∘​​.

На нашем рисунке:

α+β=180∘

α+β=180​∘​​.

Посмотри, углы α

α и ββ лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами φφ и ψψ? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов αα и ββ взять углы φφ и ψ

ψ?

Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет 180∘

180​∘​​. Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме 180∘

180​∘​​. Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Вписанный четырехугольник 2

Пусть α+β=180∘

α+β=180​∘​​. Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, 360∘360​∘​​. То есть α+β+φ+ψ=360∘α+β+φ+ψ=360​∘​​ - всегда! 180∘180​∘​​. Но α+β=180∘α+β=180​∘​​, →φ+ψ=360∘−180∘=180∘

φ+ψ=360​∘​​−180​∘​​=180​∘​​.

Волшебство прямо!

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна 180∘

180​∘​​

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна 180∘

180​∘​​, то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180∘

180​∘​​.

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».

Параллелограмм. Можно ли описать окружность.

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

Параллелограмм

предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм ABCD

ABCD окружность. Тогда непременно должно быть: α+β=180∘α+β=180​∘​​, то есть ∠B+∠D=180∘

∠B+∠D=180​∘​​.

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:

у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

То есть ∠B=∠D

∠B=∠D.

У нас получилось, что

{∠B=∠D∠B+∠D=180∘

{​∠B=∠D​∠B+∠D=180​∘​​​​ → {∠B=90∘∠D=90∘

{​∠B=90​∘​​​∠D=90​∘​​​​

А что же углы A

A и C

C? Ну, то же самое конечно.

ABCD

ABCD – вписанный → ∠A+∠C=180∘∠A+∠C=180​∘​​ → ∠A=90∘

∠A=90​∘​​

ABCD

ABCD - параллелограмм→ ∠A=∠C∠A=∠C → ∠C=90∘

∠C=90​∘​​

Потрясающе, правда?

Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны 90∘

90​∘​​, то есть это прямоугольник!

Прямоугольник

И ещё при этом – центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника. Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция. Почему?

Вписанная трапеция

Вот пусть трапеция ABCD

ABCD вписана в окружность. Тогда опять ∠B+∠D=180∘∠B+∠D=180​∘​​, но из-за параллельности прямых ADAD и BCBC ∠B+∠A=180∘

∠B+∠A=180​∘​​.

Значит, имеем: {∠B+∠D=180∘∠B+∠A=180∘

{​∠B+∠D=180​∘​​​∠B+∠A=180​∘​​​​ → ∠D=∠A

∠D=∠A → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться: Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Вписанная трапеция - равнобедренная

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

   Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна 180∘

180​∘​​

Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей

Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

Объяснение: