1. Угол между АС и MKF.

FC₁ ║ KC, FC₁ = KC как половины противоположных ребер грани куба, ∠КСС₁ = 90°, значит КСС₁F - прямоугольник, ⇒ KF ║ СС₁.

Ребро СС₁ перпендикулярно плоскости АВС, значит и KF ⊥АВС.

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она так же перпендикулярна этой плоскости:

MKF⊥АВС. Тогда плоскость MKF перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и АС.

∠(АС; MKF) = 90°.

2. Угол между АС₁ и ВСС₁.

Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

АВ⊥ВСС₁, тогда ВС₁ - проекция АС₁ на плоскость ВСС₁ и

∠АС₁В - искомый.

Если ребро куба равно а, то диагональ грани куба равна а√2.

ΔАС₁В: ∠АВС₁ = 90°, ВС₁ = а√2, АВ = а.

             tg∠AC₁B = AB / BC₁ = a / (a√2) = 1/√2

∠AC₁B = arctg(1/√2).

3. Угол между B₁D и АСС₁.

DO⊥АС по свойству диагоналей квадрата, DO⊥AA₁, так как АА₁⊥АВС, тогда DO⊥АСС₁. Значит ОО₁ - проекция B₁D на плоскость АСС₁.

∠DTO - искомый.

OD = 1/2 BD = a√2/2

B₁D = a√3 как диагональ куба, тогда DT = a√3/2.

Из прямоугольного треугольника DOT:

sin∠DTO = OD/DT = a√2/2 / (a√3/2) = √2/√3 = √6/3

∠DTO = arcsin (√6/3)

4. Угол между DD₁ и АМF.

Проведем прямую MF и отметим точки Т и Р пересечения ее с прямыми А₁В₁ и А₁D₁ соответственно.

Прямая АТ пересекает ребро ВВ₁ в точке Е, а прямая АР пересекает ребро DD₁ в точке Н.

АЕМFН - сечение куба плоскостью AMF.

MF║B₁D₁, значит MF⊥A₁C₁, MF⊥AA₁, тогда MF⊥АСС₁.

Плоскость AMF проходит через прямую MF, значит

AMF⊥ACC₁.

Проведем A₁S перпендикулярно линии пересечения этих плоскостей. Тогда A₁S⊥AMF, значит AS - проекция АА₁ на AMF, и

∠А₁АS - искомый (DD₁║AA₁ и угол между АА₁ и AMF равен углу между DD₁ и AMF).

RC₁ = 3/4 A₁C₁ (MF - средняя линия ΔB₁C₁D₁ и RC₁ равен половине половины диагонали B₁D₁)

RC₁ = 3/4 a√2

Из прямоугольного треугольника A₁AR:

tg∠A₁AR = A₁R / AA₁ = 3/4 a√2 / a = 3√2/4

∠A₁AR = arctg(3√2/4)