Решение : /////////////////////////////

Ответ:

12

Объяснение:

Пусть AD- биссектриса угла ВАС.  Пусть точка Т является точкой пересечения окружности и стороны АВ.

То есть  АТ:ТВ=2:1.  Пусть очка К является точкой пересечения окружности со стороной АС. То есть АК:КС=1:1.

Рассмотрим треугольник ADC . Проведем из середины AD  (Из точки О- центр окружности) радиус ОК.  По условию задачи диаметр=4, тогда радиус=ОК=2. Так как точка К делит АС пополам , то ОК является средней линией треугольника ADC. Тогда AD=2*OK=4.  Заметим, что CD является каксательной к окружности , а АС - секущей. Тогда по свойству касательной и секущей:

CD^2=СК*СА

16=х*2х  =>  x=2*sqr(2)

Треугольник AКD - прямоугольный, т.к. угол К опирается на диаметр окружности AD.

Тогда cosDAK=AK/AD= 2*sqr(2)/4=sqr(2)/2=> DAC=DAB=45 градусов

Заметим , что треугольник ATD также прямоугольный, т.к. угол Т опирается на диаметр окружности.

Тогда ТА= AD*cos TAD= 4*sqr(2)/2=2*sqr(2)

Тогда ВА =sqr(2)+2*sqr(2)=3*sqr(2)

Поскольку DAC=DAB=45 градусов, то угол А=90 градусов=>

треугольник ВАС- прямоугольный.

=> S(ABC)= AB*AC/2= 3*sqr(2)*4*sqr(2)/2=12