В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 6. Точки M и N – середины рёбер SA и SB соответственно. Через прямую MN перпендикулярно основанию пирамиды построена плоскость. Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABCD этой плоскостью.

Объяснение:

1) О-центр основания. SO⊥(ABC) как высота правильной пирамиды . Проведем через MN плоскость параллельную основанию , квадрату АВСD. Пусть РК⊥MN  .Через К проведем КН ║SO.  Через H проведем М₁N₁║MN  . В сечении- равнобедренная трапеция  МNN₁М₁ .

2) Р=MN+М₁N₁+2*NN₁.

ΔАВS ,  МN -средняя линия , значит  MN=1/2*AB , МN=1/2*4=2.

МN -средняя линия , а значит МN║АВ , и  М₁N₁║АВ по построению  ⇒  М₁N₁=4.

Проведем в трапеции высоту  EN .Высота EN=1/2 *SO ( по т. Фалеса).

SO=√(AS²-AO²).

                 ΔABC , AO=1/2*AC=1/2√(4²+4²)=2√2.

SO=√(AS²-AO²)=√(6²-8)=√28=2√7 ⇒EN=√7.

В равнобедренной трапеции отрезок   ЕN₁=(4-2):2=1 .

Найдем NN₁ из ΔNN₁Е по т. Пифагора :

NN₁=√(EN²+EN₁²)=√(1+7)=2√2.

Р=MN+М₁N₁+2 NN₁=6+4√2