Пусть К - середина СС₁.
Противоположные грани куба параллельны, а параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым. Значит, линия пересечения плоскости (АВК) с гранью СС₁D₁D будет параллельна АВ.
Отметим Н - середину D₁D.
СК = DH - как половины равных ребер.
СК ║ DH как перпендикуляры к одной плоскости, ⇒CKHD - прямоугольник, значит, КН║CD, ⇒ KH ║ AB. КН - отрезок сечения.
АВКН - искомое сечение.

СВ⊥АВ (ABCD - квадрат), СВ - проекция КВ на плоскость основания, значит, КВ⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах. ⇒ АВКН - прямоугольник.
АВ = 1
ΔВКС: ∠ВСК = 90°, по теореме Пифагора
ВК = √(КС² + СВ²) = √(1/4 + 1) = √(5/4) = √5/2
Sabkh = AB · BK = 1 · √5/2 = √5/2