например стороны  а  в  с

противолежащие вершины А В С

расстояние от вершины А до а

это максимум или сторона в или с

а половина периметра это  (а+в+с)/2

тогда докажем что

(са+в+)/2 > в

a+b+c >2b

a+c > b

это верно для лубой стороны и вершины

Пусть АВС - данный треугольник, точка К - любая точка на стороне ВС.

Докажем что расстояние от вершины А до точки К, т.е. длина отрезка АК меньше половины периметра треугольника, т.е. (АВ+ВС+АС)/2=p

Тогда из неравенства треугольника

АК<AB+BK

AK<AC+CK

сложив которые

2AK<AB+BK+AC+CK

2AK<AB+BC+AC

AK<(AB+BC+CA)/2

AK<p, т.е. что и требовалось доказать