если нарисовать треугольник, провести медианы и вспомнить, что
медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника
(на два равных по площади...), то можно будет записать:
для медианы АА1 ---  S(ABA1) = S(ACA1) или
S(AOC1) + S(OC1BA1) = S(AOC) + S(COA1) и аналогично для медианы CC1:
S(A1OC) + S(OC1BA1) = S(AOC) + S(C1OA) 
в обоих равенствах присутствует площадь четырехугольника...
S(OC1BA1) = S(AOC) + S(COA1) - S(AOC1)
S(OC1BA1) = S(AOC) + S(C1OA) - S(A1OC)
т.е. можно записать: S(COA1) - S(AOC1) = S(C1OA) - S(A1OC)
или 2*S(COA1) = 2*S(C1OA) 
т.е. S(COA1) = S(C1OA)
а доказать нужно: S(ABA1) = S(CBC1) ---это то же самое, что и:
S(OC1BA1) + S(AOC1) = S(OC1BA1) + S(COA1)
Ч.Т.Д.

1) Дан треугольник АВС, в нем проведены медианы АА₁ и СС₁  
Требуется доказать, что площади треугольников АВА₁ и СВС₁  равны. 
 Известно, что медианы делят треугольник на равновеликие   треугольники, т .е. на треугольники с равной площадью.
( Из  формулы площади треугольника выведена эта теорема).
 Медиана АА₁ делит треугольник на два равновеликих.
 Следовательно, площадь треугольника АВА₁ равна половине площади  треугольника АВС.  
Медиана СС₁ делит треугольник АВС на две половины с равной  площадью. Следовательно, площадь треугольника СВС₁ равна   половине площади треугольника АВС. 
 Площади каждого из треугольников АВА₁ и СВС₁ равны  половине  площади треугольника АВС, следовательно, они равновелики, что и  требовалось доказать.  ----------------
 2) Будем считать, что четырехугольник АВСД - прямоугольный. 
 Площадь прямоугольника равна произведению его сторон.
 Пусть сторона  АВ=а 
АД=b
 S(АВСД)=ab
 Площадь треугольника АFM равна АF*AM:2 
По условию задачи 
АF=2/3 AB=2а/3 
AM=1/3 AД=b/3
 S(AFM)=(2a/3)*(b/3):2=ab/9
 S(BENДC)= S ABCД - S (AЕN) 
 S (AЕN)= AE*AN:2=(а/3)*(2b/3):2==ab/9
 S(BENДC)=ab-ab/9= 8ab/9 
 S(BENДC)=8/9 от S, т.е. 8S:9