Теорема: сумма углов треугольников равно 180градусов.
 Док-во:Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем,что угол А+угол В+угол С=180 градусов. Проведем через вершину В прямую "а",параллельную стороне АС. Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при параллельных прямых "а" и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 - накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому угол 4=углу 1, угол 5= углу 3. Очевидно,сумма углов 4,2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т.е. угол 4+угол 2+угол 5=180 градусам. Отсюда,учитывая равенства,получаем: угол 1+угол 2+угол 3=180градусам. Теорема Доказана.

Рассмотрим треугольник ABC  и докажем что A+B+C=180
Проведём через B прямую а , так чтобы она была параллельна стороне AC. Углы 1 и 4 накрест лежащии при a и AC секущей AB. Углы 3 и 5 накрест лежащие при пересечении a и Ac секущей BC.  Поэтому 1=4, 5=3. (1)
Следовательно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной B, т.е. 4+2+5=180.  Отсюда учитывая равенства(1), получаем 1+2+3=180 или A+B+C=180. Теорема доказана.