1. Правильный четырехугольник - квадрат.  Радиус описанной около квадрата окружности равен половине диагонали.

Если а - сторона квадрата, d - диагональ и R - радиус описанной окружности, то

d = a√2 = 20√2.

R = d/2 = 10√2

2.  Центр окружности, описанной около прямоугольника, лежит в точке пересечения его диагоналей. Диагонали прямоугольника равны и являются диаметрами окружности.

По теореме Пифагора:

d = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 см

Длина окружности:

C = πd = 13π см

3. ∠KOD = 30° - центральный угол, значит и градусная мера соответствующей ему дуги тоже 30°.

∪ DK = 30°

∠МОК = 180° ⇒  ∪ MTK = 180°,

∪  MD = 360° - 180° - 30° = 150°

Длина дуги находится по формуле:

С = 2πR · α / 360°

С_dk = 2π · 5 · 30° / 360° = 5π/6 см

C_mtk = 2π · 5 · 180° / 360° = 5π см

C_md = 2π · 5 · 150° / 360° = 25π/6 см

4. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен стороне шестиугольника:

R = a = 12 см

Центральный угол правильного шестиугольника:

α = 360° / 6 = 60°

Площадь кругового сектора:

S = πR² · α / 360°

S = π · 144 · 60° / 360° = 24π см²