Ответ:

Отношение DA : BC = 1 : 4.

Объяснение:

В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, АВ : DC = 1 : 2 и BD : AC = 2 : 3. Найдите отношение DA : BC.

Дано: ABCD - четырехугольник;

Окр.О - описана около ABCD;

АВ : DC = 1 : 2;   BD : AC = 2 : 3

Найти: DA : BC

Решение:

Рассмотрим ΔАВК и ΔDKC.

• Вертикальные углы равны.

⇒   ∠AKB = ∠DKC

• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

⇒   ∠ABD = ∠ACD

ΔАВК ~ ΔDKC (по двум углам)

АВ : DC = 1 : 2

Запишем отношения сходственных сторон:

Пусть ВК = а, тогда КС = 2а.

BD : AC = 2 : 3

Пусть BD = 2y, тогда АС = 3у

⇒   KD = BD - BK = 2y - a;   AK = AC - KC = 3y - 2a

• Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков второй хорды.

⇒   BK · KD = AK · KC

a · (2y - a) = (3y - 2a) · 2a

2ay - a² = 6ay - 4a²

4ay = 3a²     |:a

4y = 3a

Рассмотрим ΔAKD и ΔBKC.

∠AKD = ∠CKB (вертикальные)

∠DBC = ∠DAC (вписанные, опираются на  ◡DC)

⇒   ΔAKD ~ ΔBKC (по двум углам)

Запишем отношения сходственных сторон:

Отношение DA : BC = 1 : 4.

#SPJ1