Ответ:

Для доказу того, що пряма, проведена через точку А площини α перпендикулярно до площини β, лежить у площині α, скористаємося наступними твердженнями:

1. Якщо дві площини перпендикулярні, то будь-яка пряма, перпендикулярна до однієї з них, лежить у іншій.

2. Якщо пряма перпендикулярна до двох площин, то вона лежить у площині, перпендикулярній до цих двох площин.

Доведення:

Нехай площини α і β перпендикулярні. Через точку А площини α проведено пряму, яка перпендикулярна до площини β.

Оскільки пряма перпендикулярна до площини β, то за твердженням 1 ця пряма лежить у площині α.

Також, оскільки пряма перпендикулярна як до площини α, так і до площини β, то за твердженням 2 ця пряма лежить у площині, перпендикулярній до площин α і β.

Але площина α є перпендикулярною до площини β, тому пряма, проведена через точку А площини α перпендикулярно до площини β, лежить у площині α.

Отже, ми довели, що пряма, проведена через точку А площини α перпендикулярно до площини β, лежить у площині α.