Ответ:

1)  АВСD - трапеция ,  ∠А = 60° , АВ = 12 , ВС = 6 ,  СD = 3√21  .

Найти площадь АВCD .

Опустим перпендикуляры ВН и СМ .

Δ АВН :  ∠АВН = 90° - 60° = 30° , катет против этого угла равен половине гипотенузы  ⇒  АН = 12 : 2 = 6 .

Второй катет по теореме Пифагора :  ВН = √(12² - 6²) = √108 = 6√3 .

( Или можно найти ВН через тригонометрические функции )

ВН является высотой трапеции и ВН = СМ .

Δ СМD :  ∠СМD = 90° ,  СМ = 6√3  ,  

МD = √(CD²-CM²)=√(9·21 - 108) = √81 = 9 .

ВСМН - прямоугольник  ⇒   НМ = ВС = 6

АD = АН + НМ + МD = 6 + 6 + 9 = 21

S(ABCD) = (AD + BC ) : 2 · BH = (21 + 6 ) : 2 · 6√3 = 81√3  

2)  ABCD - трапеция , АВ = ВС ,  CD = 4 ,  ∠D = 90° ,  ∠А = 30°  .

Найти площадь прямоугольной трапеции ABCD .

ВН ⊥ AD  ⇒   BCDH - прямоугольник  ⇒  ВН = СD = 4 , BC = HD .

ΔАВН :  ∠АНВ = 90° , ∠А = 30°  ⇒  АВ = 2 · ВН = 2 · 4 = 8

АН = √(АВ² - ВН²) = √(8² - 4²) = 4√3

ВС = АВ = 8  ,  HD = BC = 8

AD = AH + HD = 4√3 + 8 = 4·(√3 + 2 )

S(ABCD) = ( AD + BC ) : 2 · BH = (4√3 + 8 + 8 ) : 2 · 4 = (2√3+8 ) · 4 =    

               = 8·(√3 + 4 )