Ответ:

Площадь трапеции равна 198 см²

Объяснение:

Периметр трапеции равен 66 см, а точка соприкосновения вписанного круга разделяет боковую сторону на отрезки длиной 4 см и 9 см. Найдите площадь трапеции.

Дано: ABCD - трапеция;

Окр.(О; R) - вписана в ABCD;

P - точка касания; СР = 4 см; PD = 9 см

Р(ABCD) = 66 см

Найти: S(ABCD)

Решение:

Проведем высоту СМ.

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Периметр - сумма длин всех сторон трапеции.

Р(ABCD) = AB + BC + СD + AD = 66 (см)

• Если в трапецию вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны.

⇒   АВ + CD = BC + AD = 66 : 2 = 33 (см)

Сумма оснований равна 33 см.

Надо найти высоту.

• Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны.

⇒   РС = СН = 4 см;   PD = DE = 9 см

• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

⇒   ОЕ ⊥ AD;  OН ⊥ BC

Так как BC || AD, то НЕ ⊥ AD

Рассмотрим ЕНСМ.

СМ ⊥ AD;   HE ⊥ AD

• Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒   CM || HE

⇒ ЕНСМ - параллелограмм (по определению)

• Если в параллелограмме есть прямой угол, то это прямоугольник.

⇒ ЕНСМ - прямоугольник.

• В прямоугольнике противоположные стороны равны.

⇒   НС = ЕМ = 4 см

Рассмотрим ΔMCD - прямоугольный.

MD = ED - EM = 9 - 4 = 5 (см)

По теореме Пифагора:

СМ² = CD² - MD² = 169 - 25 = 144   ⇒   CM = 12 см

Найдем площадь.

Высоту СМ = 12 см, Сумма оснований равна 33 см.

  (см²)