Для розв'язання задачі про рівнобічну трапецію з гострим кутом 60° і бісектрисою тупого кута, яка ділить більшу основу пополам, необхідно виконати кілька кроків.

1. **Позначення:**
- Нехай (ABCD) - рівнобічна трапеція, де (AB) і (CD) - основи, (AB = 12) см (більша основа), (AD = BC) - бокові сторони, ( angle DAB = 60°), а (BE) - бісектриса кута (B), яка ділить (AB) пополам в точці (E) (тобто (AE = EB = 6) см).

2. **Трикутники:**
- Бісектриса (BE) поділяє трапецію на два рівнобедрених трикутника ( triangle ABE) і ( triangle CBE ). Трикутник ( triangle ABE) є рівнобедреним з основою (AE = 6) см і кутом при вершині ( angle EAB = 30° ), оскільки (BE) є бісектрисою кута 60°.

3. **Висота:**
- Висота трапеції опущена з вершини (A) на основу (CD) поділить трапецію на два рівних прямокутних трикутники з гострим кутом 60°. У кожному з таких трикутників відношення катетів визначається як:
[
tan(60°) = frac{h}{frac{CD - AB}{2}}
]
Але оскільки (BE) поділяє (AB) пополам, висота (h) також дорівнює висоті трикутника (ABE) з основою 6 см:
[
h = AE cdot tan(30°) = 6 cdot frac{sqrt{3}}{3} = 2sqrt{3} , text{см}
]

4. **Менша основа (CD):**
- Використовуючи властивості рівнобедреного трикутника (ABE) і його висоту, ми можемо знайти половину різниці між основами (AB) і (CD):
[
CD - AB = 2 cdot 2sqrt{3} = 4sqrt{3} , text{см}
]
[
CD = AB + 4sqrt{3} = 12 + 4sqrt{3} , text{см}
]

5. **Площа трапеції:**
- Площа трапеції визначається як:
[
S = frac{(AB + CD)}{2} cdot h = frac{(12 + 12 + 4sqrt{3})}{2} cdot 2sqrt{3}
]
[
S = frac{(24 + 4sqrt{3})}{2} cdot 2sqrt{3} = (12 + 2sqrt{3}) cdot 2sqrt{3} = 24sqrt{3} + 12 cdot 2 = 24sqrt{3} + 24 = 24(sqrt{3} + 1) , text{см}^2
]

Отже, площа рівнобічної трапеції дорівнює (24(sqrt{3} + 1) , text{см}^2).