Ответ:

Для решения задачи с пирамидой ( SABC ), где ( SA ) перпендикулярна плоскости основания ( ABC ), ( SA = 4sqrt{6} ), ( BC = 8 ), и двугранный угол при ребре ( BC ) равен 45 градусов, следуем следующим шагам:

1. **Изображение пирамиды:**

- ( S ) — вершина пирамиды.

- ( ABC ) — основание пирамиды, лежащее в одной плоскости.

- ( SA ) перпендикулярна ( ABC ).

2. **Высота пирамиды:**

- Поскольку ( SA ) перпендикулярна плоскости ( ABC ), это означает, что ( SA ) является высотой пирамиды. ( SA = 4sqrt{6} ).

3. **Свойства двугранного угла:**

- Двугранный угол при ребре ( BC ) равен 45 градусов. Это угол между плоскостями ( SAB ) и ( SBC ).

4. **Проекция ребра ( SA ) на плоскость основания:**

- Давайте обозначим проекцию точки ( S ) на плоскость ( ABC ) как ( H ) (основание высоты ( SA )).

5. **Применение тригонометрии:**

- Рассмотрим треугольник ( SHA ). В нём:

[

tan(45^circ) = frac{SA}{AH}

]

Поскольку ( tan(45^circ) = 1 ), то:

[

AH = SA = 4sqrt{6}

]

6. **Рассмотрение треугольника ( AHB ):**

- Треугольник ( AHB ) является прямоугольным, так как ( AH ) перпендикулярен ( BC ).

- ( AB ) и ( AC ) одинаковы из-за симметрии (так как ( H ) — проекция ( S ) и лежит посередине ( BC )).

7. **Нахождение сторон треугольника ( ABC ):**

- ( BC = 8 ), а ( H ) лежит посередине ( BC ), значит, ( BH = HC = 4 ).

8. **Применение теоремы Пифагора:**

- В треугольнике ( AHB ):

[

AB^2 = AH^2 + BH^2

]

[

AB^2 = (4sqrt{6})^2 + 4^2

]

[

AB^2 = 96 + 16 = 112

]

[

AB = sqrt{112} = 4sqrt{7}

]

Таким образом, стороны основания пирамиды ( AB = AC = 4sqrt{7} ).

9. **Объём пирамиды:**

- Площадь треугольника ( ABC ):

[

S_{ABC} = frac{1}{2} times BC times AH

]

[

S_{ABC} = frac{1}{2} times 8 times 4sqrt{6}

]

[

S_{ABC} = 16sqrt{6}

]

- Объём пирамиды ( SABC ):

[

V = frac{1}{3} times S_{ABC} times SA

]

[

V = frac{1}{3} times 16sqrt{6} times 4sqrt{6}

]

[

V = frac{1}{3} times 16 times 6 times 4 = frac{1}{3} times 384 = 128

]

Таким образом, объём пирамиды ( SABC ) равен ( 128 ) кубических единиц.