Ответ:

Медіана, проведена до сторони трикутника, яка лежить проти кута 30°, розділяє цю сторону на дві рівні частини. Таким чином, медіана поділить сторону так, що відстань від вершини трикутника до точки дотику буде дорівнювати половині довжини сторони.

Нехай (a) і (b) - довжини двох інших сторін трикутника, а (m) - медіана, яка лежить проти кута (30^circ). Оскільки медіана ділить сторону на дві рівні частини, а третя сторона трикутника є основою прямокутного трикутника, то відомо, що (m) буде відстанню від вершини трикутника до точки дотику медіани на стороні.

Використовуючи властивості прямокутних трикутників, можемо скласти співвідношення між (a), (b) і (m). Оскільки кут (30^circ) - це кут в прямокутному трикутнику, то можемо записати такі рівності:

1. За теоремою синусів: (frac{a}{sin 30^circ} = frac{2m}{sin 60^circ}).

2. За теоремою Піфагора: (b^2 = a^2 + (2m)^2).

Розглянемо кожен з цих виразів:

1. За теоремою синусів: (frac{a}{sin 30^circ} = frac{2m}{sin 60^circ} Rightarrow a = 2sqrt{3}m).

2. За теоремою Піфагора: (b^2 = a^2 + (2m)^2 Rightarrow b^2 = (2sqrt{3}m)^2 + (2m)^2).

Підставимо (a = 2sqrt{3}m) в друге рівняння:

(b^2 = (2sqrt{3}m)^2 + (2m)^2 = 12m^2 + 4m^2 = 16m^2).

Отже, (b = 4m).

Таким чином, медіана (m) утворює відрізок сторони трикутника від вершини проти кута (30^circ) до середини цієї сторони. Відомо, що сума довжин двох інших сторін трикутника дорівнює 4 см і (2/3) см. Так як (b = 4m), то (4m = 4) см, отже, (m = 1) см.

### Відповідь:

Медіана, проведена до сторони трикутника, яка лежить проти кута (30^circ), дорівнює 1 см.