Ответ:

Для решения этой задачи сначала разберёмся с обозначениями и данными. В треугольник (ABC) вписана окружность с центром в точке (O), и окружность касается сторон (AB), (BC) и (CA) в точках (F), (D) и (E) соответственно. Также дан периметр треугольника (P_{ABC} = 80 ) см, а отношение ( frac{AH}{HB} = frac{2}{5} ). Нам нужно найти длину стороны (AB).

Обозначим стороны треугольника как (AB = c), (BC = a) и (CA = b).

Длины касательных от одной точки к окружности равны, поэтому обозначим:

- (AF = AE = x)

- (BD = BF = y)

- (CD = CE = z)

Тогда периметр треугольника можно выразить как:

[ c = AF + FB = x + y ]

[ a = BD + DC = y + z ]

[ b = CE + EA = z + x ]

И также:

[ x + y + z = 40 ] (половина периметра треугольника, так как (x + y + z) — это полупериметр)

Теперь рассмотрим отношение ( frac{AH}{HB} = frac{2}{5} ).

Обозначим (AH = 2k) и (HB = 5k), тогда (AB = 2k + 5k = 7k).

Нам нужно выразить это через (x) и (y), то есть (c = x + y = 7k).

Рассмотрим данную длину (CD = 5) см, то есть (z = 5).

Используя уравнение полупериметра:

[ x + y + 5 = 40 ]

[ x + y = 35 ]

Мы уже нашли ( x + y ), теперь нужно выразить (7k = x + y = 35).

Тогда:

[ 7k = 35 ]

[ k = 5 ]

Следовательно, длина стороны (AB):

[ AB = 7k = 7 times 5 = 35 text{ см} ]

Итак, длина стороны (AB) равна 35 см.

Объяснение: