Ответ:

Расстояние от точки D до вершин треугольника равно 8 см.

Объяснение:

Точка D равноудалена от всех вершин правильного треугольника со стороной 12 см и находится на расстоянии 4 см от плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до вершин треугольника.

Дано: ΔАВС - равносторонний;

АВ = ВС = АС = 12 см;

DО ⊥ (АВС); КО = 4 см.

DА = DВ = DС.

Найти: DА

Решение:

• Если точка равноудалена от вершин треугольника, то она проецируется в центр описанной окружности.

Так как в равностороннем треугольнике все высоты являются биссектрисами и медианами, то вершина проецируется в точку пересечения высот (биссектрис, медиан)

⇒   О - центр описанной окружности.

Рассмотрим ΔСАТ - прямоугольный.

СТ = ТВ = 12 : 2 = 6 (см)

По теореме Пифагора:

АТ² = АС² - СТ² = 144 - 36 = 108   ⇒   АТ = 6√3 см

• Медианы треугольника пересекаются в одной точкой и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, начиная от вершины.

⇒   ОТ = 2√3 см; АО = 4√3 см

Рассмотрим ΔАDО.

DО ⊥ (АВС)

• Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

⇒  DО ⊥ АО   ⇒  ΔАDО - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

АD² = АО² + DО² = 48 + 16 = 64   ⇒   АD = 8 см.

Расстояние от точки D до вершин треугольника равно 8 см.

#SPJ1