Ответ:

ЕК = 42 см

Объяснение:

У прямокутному трикутнику EFP кут F-прямий, EF=21 см, кут Е вдвічі менший від кута Р. Катет FP продовжили за вершину Р на відрізок PK так, що РК=PE. Знайдіть EK.

Маємо прямокутний трикутник EFP, ∠F = 90°, ∠P = 2 • ∠E, EF = 21 см. PK= PE.

Знайдемо EK.

1) У △EFP (∠F = 90°) за теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника маємо:

∠Е + ∠Р = 90°

∠Е + 2∠Е = 90°

∠Е = 90° : 3

∠Е = 30°

Тоді ∠Р = 60°

Далі можливо розв'язувати двома способами.

1 спосіб

2) △EPK - рівнобедрений з основою ЕК, кути при основі рівнобедреного трикутника рівні, тому: ∠РЕК = ∠К.

∠EPF - зовнішній кут при вершині Р △ЕРК.

За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо:

∠EPF = ∠PEK + ∠K = 2 • ∠K

∠К = ∠EPF : 2 = 60° : 2 = 30°

3) У △EKF катет EF лежить навпроти кута 30°, тому, за властивістю, він дорівнює половині гіпотенузи ЕК:

EF = ½ • EK.

Отже, EK = 2 • EF = 2 • 21 = 42 (см)

2 спосіб

2) У △EFP за означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника маємо:

3)∠FPE + ∠EPK = 180° - як суміжні

∠EPK = 180° - ∠FPE = 180° - 60° = 120°

4) За теоремою косинусів знайдемо сторону EK △EPK.

EK² = PE² + PK² - 2 • PE • PK • cos∠EPK.

Маючи на увазі, що PK = PE, отримаємо:

EK² = 2 • PE² - 2 • PE² • cos 120° = 2PE² - 2PE² • (-½) = 3PE²

(см)

#SPJ1