Ответ:

Для доведення того, що трикутник ( PKL ) є рівностороннім, скористаємося властивостями рівностороннього трикутника ( ABC ) і рівністю відрізків ( AP = BK = CL ).

1. **Відомо:**

- Трикутник ( ABC ) є рівностороннім.

- ( AP = BK = CL ).

2. **Розглянемо трикутники:**

- Трикутник ( ABK )

- Трикутник ( BCL )

- Трикутник ( CAP )

3. **Доведемо, що трикутники ( ABK ), ( BCL ) і ( CAP ) є рівнобедреними:**

- У трикутнику ( ABK ): ( AB = BK ) (оскільки ( AB = BC = CA ) і ( AP = BK )).

- У трикутнику ( BCL ): ( BC = CL ) (оскільки ( AB = BC = CA ) і ( BK = CL )).

- У трикутнику ( CAP ): ( CA = AP ) (оскільки ( AB = BC = CA ) і ( CL = AP )).

4. **Розглянемо кути рівностороннього трикутника ( ABC ):**

- Кожен кут трикутника ( ABC ) дорівнює ( 60^circ ).

5. **Розглянемо кути при вершинах ( P ), ( K ) і ( L ):**

- У трикутнику ( ABK ): кут ( angle BAK = 60^circ ) (оскільки ( angle BAC = 60^circ ) і ( AK = AP )).

- У трикутнику ( BCL ): кут ( angle BCL = 60^circ ) (оскільки ( angle BCA = 60^circ ) і ( CL = CK )).

- У трикутнику ( CAP ): кут ( angle CAP = 60^circ ) (оскільки ( angle CAB = 60^circ ) і ( AP = AL )).

6. **Отже, у трикутнику ( PKL ):**

- ( angle P = angle APK = angle KPB = 60^circ ).

- ( angle K = angle BKC = angle KCL = 60^circ ).

- ( angle L = angle CLP = angle LAP = 60^circ ).

7. **Трикутник ( PKL ) є рівностороннім, оскільки всі його кути дорівнюють ( 60^circ ).**

Таким чином, ми довели, що трикутник ( PKL ) є рівностороннім.