Из треугольника, основание которого равно 120см, а высота-60см, нужно вырезать прямоугольник так, чтобы две его вершины лежали на основании треугольника, а две другие - на боковых сторонах. Какой периметр будет у прямоугольника, если его площадь должна быть равна -17,5 дм в квадрате.

Стороны прямоугольника а и в, площадь прямоугольника S = a*b

Из подобия треугольников a/120=(60-b)/60

60a=7200-120b

a = 120-2b

a*b = 1750

(120-2b)*b=1750

2b²-120b+1750=0

b²-60b+875=0

По теореме Виета

b1=25cм

b2=35см

а1=120-50=70см

а2=120-70=50см

P₁=2(25+70)=190см

P₂=2(35+50)=170см

Во-первых, не могут 2 стороны лежать на основании, это две вершины могут лежать на основании а две других - на боковых сторонах.

Во-вторых, будем все мерять в дециметрах - так нулей меньше и единицы измерения одни и те же :))

Основание треугольника а = 12 (дециметров), высота к этой стороне h = 6;

Стороны прямоугольника обозначим x и y. Сторона y параллельна основанию треугольника а. Ясно, что эта сторона y отсекает от исходного треугольника ему подобный, у которого основание y, а высота h - x. Ясно, что в подобных треугольниках высоты пропорциональны сторонам, поэтому

y/a = (h - x)/h = 1 - x/h;

Площадь прямоугольника S = 17,5 (кв. дм);

S = x*y;

Введем новую переменную z = x/h; легко видеть, что y = a*(1 - z);

z*(1 - z) = S/(a*h); то есть z^2 - z + S/(a*h) = 0; это простое квадратное уравнение.

z = 1/2 +- √(1/4 - S/(a*h)) = (1/2)*(1 +- √(1 - 4*S/(a*h)));

Ясно видно, что есть два решения, если под корнем положительная величина, конечно, в задаче это так, 

1 - 4*S/(a*h) = 1/36 = (1/6)^2;

поэтому z1 = 5/12; z2 = 7/12; периметр 2*(x + y) легко вычислятеся.

Но я поступлю иначе - обозначу для краткости записи √(1 - 4*S/(a*h)) = u; тогда

z = (1/2)*(1 +- u); x = (1/2)*(1 +- u)*h; y = (1/2)*(1 -+ u)*а; (если x "с минусом", то y "с плюсом")

Периметр Р = (1 +- u)*h + (1 -+ u)*а = (a + h) +- (a - h)*u;

Окончательно

P = (a + h) +- (a - h)*√(1 - 4*S/(a*h));

это получился ответ в общем виде :))) Вычислим теперь значения. 

u = 1/6; (уже вычисляли :))

P = (12 + 6) +- (12 - 6)/6 = 18 +- 1;

То есть в задаче два решения P1 = 19 дециметров, P2 = 17 дециметров.