Во-первых, определимся с расстоянием h от вершины основания до противоположной боковой грани. Оно (h) равно расстоянию от середины стороны основания до апофемы  А (апофема - высота боковой грани).

Обозначим  а - длину стороны основания, Н - высоту пирамиды, α - угол между апофемой и основанием, β - угол между высотой пирамиды и апофмой.

Объём пирамиды V = 1/3 H·a² = 4, откуда

Н = 12/а²   (1)

Площадь боковой поверхности: Sбок = 4·0,5А·а = 8, откуда

А = 4/а       (2)

Теперь рассмотрим два прямоугольных тр-ка:

В 1-м тр-ке гипотенуза А, катет Н лежит против угла α, катет 0,5а лежит против угла β.

Во 2-м тр-ке гипотенуза а, катет h лежит против угла α, а угол между катетом h и гипотенузой а, равен углу между гипотенузой А  и катетом Н 1-го тр-ка, т.к. это острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами, т.е. угол между катетом h и гипотенузой а равен β.

Рассматриваемые прямоугольные тр-ки подобны по двум равным углам.

Против равных углов лежат пропорциональные стороны:

А : а = Н : h

Подставим в эту пропорцию Н из (1) и А из (2):

4/а : а  = 12/а² : h

1/а² = 3/(а²·h)

Откуда h = 3·а²/а²

h = 3.

Ответ: расстояние равно 3 см.

V=(1/3)Sосн*h,  (1/3)a^2*h=4,  a^2*h=12, где а - сторона основания, h - высота пирамиды. Sбок=2da, 2da=8,  da=4, где d - апофема пирамиды. Расстояние от веришины основания пирамиды - это перпендикуляр, проведенный к противоположной боковой грани. Заменим его на перпендикуляр из прямой, проведенной через эту вершину, параллельной боковой грани - это будет сторона основания. И удобнее всего провести этот перпендикуляр из середины стороны основания - это будет перпендикуляр к апофеме. Тогда две апофемы противоположных граней и отрезок, соединяющий их концы - образуют равнобедренный треугольник. Его площадь равна: с одной стороны (1/2)a*h, с другой стороны (1/2)x*d, где x - искомое расстояние. Значит, a*h=x*d. Унас есть два равенства: a^2*h=12 и d*a=4. Разделим первое на второе, после сокращения получим  (a*h)/d = 3. Откуда: a*h = 3*d. Сравним с последним  выделенным равенством. Ясно, что x=3 - это и есть искомое расстояние