Пусть пирамида имеет вершину S и в основании треугольник АВС.

Для простоты обозначим неизвестную сторону основания х.

Из точек С и В проведём к ребру АS перпендикуляры. В силу того, что грани АSC и АSВ одинаковы, эти перпендикуляры придут в одну точку К на ребре АS. Эти перпендикуляры равны: СК = ВК. Следовательно, треугольник СКВ - равнобедренный.

Мерой двугранного угла, образованного двумя боковыми гранями  АSC и АSВ является линейный угол СКВ. Итак, уг. СКВ = 2φ

Из вершины К тр-ка СКВ опустим высоту КД(она же медиана, она же биссектриса) на сторону ВС.

В прямоугольном тр-ке СКД уг.СКД = φ. Половина СД стороны основания ВС равна = 0,5х  или

0,5х = СK·sinφ.

В тр-ке АSC, являющемся боковой гранью, высоту СК можно найти из площади

S = 1/2 CK· AS

или поскольку ребро AS = a, то

S = 1/2 CK· а, откуда

СК = 2S/а.

Для другой боковой грани - тр-ка BSC, равного тр-ку АSC та же площадь

S = 1/2 SД· ВС  или

S = 0,5 SД· х.

Из тр-ка СSД найдём SД

SД² = SC² - CД² или

SД² =а² - (0,5х)²

SД =√(а² - (0,5х)²)

Теперь пошли обратно по "жирной" цепочке

Подставим SД в S = 1/2 SД· х и получим

S = 0,5 √(а² - (0,5х)²)· х

S подставим в СК = 2S/а. Получим

СК = (х/а)·√(а² - (0,5х)²)

Наконец, подставим СК в 0,5х = СK·sinφ.

0,5х = [√(а² - (0,5х)²)· х/а]·sinφ.

Преобразуем и найдём х

х/(2sinφ) = (х/а)·√(а² - (0,5х)²)

1/(2sinφ) = (1/а)·√(а² - (0,5х)²)

а = 2sinφ·√(а² - (0,5х)²)

а² = 4sin²φ·(а² - (0,5х)²

а² = sin²φ·(4а² - х²)

а² - 4а² ·sin²φ·=  - х²·sin²φ

а²(4sin²φ - 1) = х²·sin²φ

х = [а·√(4sin²φ - 1)]/sinφ - это и есть длина стороны основания