Очень простая задача, которую можно решить 1000 способов, я её решаю только из за "египетского" треугольника.

Если в ромбе провести диагонали, то получится четыре одинаковых прямоугольных треугольника, в которых R - высота к гипотенузе. 

Поскольку синус острого угла такого треугольника равен 3/5, это "египетский" треугольник, то есть он подобен треугольнику со сторонами 3,4,5.

У треугольника со стронами 3,4,5 высота равна 3*4/5 = 12/5; а у "четвертушки ромба" высота (по условию) R = 6, то есть коэффициент подобия равен 5/2, и боковая сторона ромба равна 5*5/2 = 25/2.

Периметр ромба равен P = 4*25/2 = 50,

а площадь S = P*R/2 = 50*6/2 = 150.

Если очень хочется "стандартного" решения, то половинки диагоналей ромба очевидно равны R/sinx и R/cosx, cosx = 4/5. Поэтому диагонали 20 и 15. Дальше элементарно - S = 20*15/2 = 150;