1 задача. 

Дан треугольник АВС, точка Е принадлежит АЕ, точка К принадлежит ВС. 

ВЕ:ВА = ВК:ВС = 2:5. Через прямую АС проходит плоскость альфа, не совпадающая с плоскостью треугольника АВС.

а) Доказать, что ЕК параллельна плоскости альфа.

б) Найти АС, если ЕК=14 

____________

Соединим точки Е и К.

В треугольниках АВС и КВЕ угол при В общий, а стороны, между которыми он заключен, пропорциональны. 

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.  ⇒

∆ АВС~∆ КВЕ.

∠ ВАС=∠ВЕК, ∠ВСА=∠ВКЕ, и эти углы соответственные при пересечении АС и ЕК секущими. 

По признаку параллельности прямых: Если соответственные углы при пересечении прямых секущей равны, то прямые параллельны.

Следовательно, АС и КЕ - параллельны. 

 ЕК не лежит в плоскости альфа. АС - лежит в плоскости альфа. 

По т. о параллельности прямой и плоскости:

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. ⇒

ЕК параллельна плоскости альфа.

Стороны ∆ ВЕК и ∆ АВС относятся как 2:5  ⇒

ЕК:АС=2:5 

14:АС=2:5 ⇒

2 АС=70

АС=35

-----------------------

2 Задача.

Дан треугольник АВС, точка М принадлежит АВ, К принадлежит ВС. ВМ:МА как 3:4. Через прямую МК проходит плоскость альфа , параллельная АС.

а) Доказать, что ВС:ВК=7:3 ( в условии не дописано, но следует из отношения ВМ:МА)

б) Найти МК, если АС=14

__________

Задача похожа на первую, но все же отличается от неё, отличаются  и рисунки к ним. 

Даны плоскость треугольника АВС и плоскость альфа, пересекающая ее по прямой МК. 

МК лежит в плоскости альфа. АС не лежит в плоскости альфа, но параллельна ей. 

По признаку параллельности прямых в пространстве:

  Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей. ⇒

а) АС║МК, и тогда ∆ АВС и ∆ ВМК подобны по равным соответственным углам при пересечении параллельных АС и МК секущими. 

Т.к. МК делит АВ на части ВМ:МА = 3:4, то АВ состоит из ВМ+МА=3+4=7 частей, и коэффициент подобия ∆ АВС и ВМК равен АВ:ВМ=7:3  и ВС:ВК=7:3- доказано. 

б) АС:МК=7:3

14:МК=7:3

7 МК=42

МК=6 (ед. длины)