Самый простой способ решить данную задачу - просто построить таблицу истинности каждого из заданных вариантов и проверить на соответствие.
Сначала приведу таблицы истинности конъюнкции, дизъюнкции и инверсии. Сразу стоит отметить, что приоритет инверсии выше конъюнкции и дизъюнкции, а приоритет конъюнкции выше дизъюнкции. То есть, например, отрицание будет выполнено раньше логического ИЛИ.
Логическое И, конъюнкция (&)
X Y F
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Логическое ИЛИ, дизъюнкция (|)
X Y F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Инверсия(¬)
X F
0 1
1 0
Перейдём непосредственно к перебору вариантов:
а) X & Y & ¬ Z
1 1 1 0 - не подходит, 1 И 1=1, 1 И 0=0, а должно быть 1
б) X & Y & Z
1 1 1 1
1 1 0 0 - не подходит, 1 И 1=1, 1 И 0=0, а должно быть 1
в) X | ¬ Y | Z
1 1 1 1
1 1 0 1
1 0 1 1
в) подходит
г) ¬X | Y | ¬Z 
1 1 1 1
1 1 0 1
1 0 1 0 - не подходит, так 0 ИЛИ 0=0, 0 ИЛИ 0=0, а нужно 1
Ответ: в)

В данном случае задача допускает весьма простое решение. Нам повезло с набором данных.

Из таблицы мы видим, что F=1, если Х=1 и хотя бы один из Y,Z равен 1.
"Хотя бы один из" - тут уже повеяло функцией "ИЛИ".
Смотрим варианты ответов. a) и б) сразу же отбрасываем, потому что там нет "ИЛИ". А вот в оставшихся двух это "ИЛИ" везде.
Смотрим снова в таблицу. В в) присутствует Х и по "ИЛИ" с остальными переменными он даст всегда F=1. Следовательно, в) подходит.
А вот в г) стоит Х с отрицанием, т.е. при Х=1 мы получаем ¬Х=0 и тут Х нам не помощник. А что в г) с Y и Z? В соответствии г) F=1 получится, если Y=1 "ИЛИ" Z=0. Но у нас в последней строке есть "нехороший" результат Y=0, Z=1, а F все равно 1. Поэтому мы вынуждены признать, что г) не подходит.

Ответ: в)