Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины, закрепленной с одного конца, и груза массой m {displaystyle m} , прикрепленного к свободному концу пружины. Будем считать, что груз может двигаться только в направлении оси пружины (например, движение происходит вдоль стержня). Построим математическую модель этой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием x {displaystyle x} от центра груза до его положения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с помощью закона Гука (F = − k x {displaystyle F=-kx} ), после чего воспользуемся вторым законом Ньютона, чтобы выразить его в форме дифференциального уравнения:

где x ¨ {displaystyle {ddot {x}}} означает вторую производную от x {displaystyle x} по времени: x ¨ = d 2 x d t 2 {displaystyle {ddot {x}}={frac {d^{2}x}{dt^{2}}}} .

Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической системы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором».