Почему?

Потому что Вы каждый раз, когда матрица симметрична (но не до конца, а на данной итерации), выводите "YES", хотя не знаете, будет ли она симметрична далее.

Как решить?

1. Заведите переменную типа bool:

bool isSymmetrically = true;

2. В теле условия if (a[i][j] != a[j][i]) замените вывод на следующее:

isSymmetrically = false; // матрица не симметрична, можно заканчивать цикл (с помощью break)

В блоке else:

isSymmetrically = true; // на данном этапе симметрия присутствует

2.1. После вложенного цикла произведите проверку на то, симметрична ли матрица, чтобы в случае несимметричности не продолжать проверку, а сразу сделать вывод:

if (isSymmetrically == false)

{  break;  }

3. После всех циклов вы произвдите следующую проверку:

if (isSymmetrically = true) // если матрица симметрична

{ // вывод YES }

else

{ // вывод NO }

Исправленный код

1. #include <iostream>
3. using namespace std;
5. int main()
6. {
7.    int n = 0;
8.    int a[100][100];
9.    bool isSymmetrically = true;
11.    cin >> n;
13.    for (int i = 0; i < n; i++)
14.    {
15.        for (int j = 0; j < n; j++)
16.        {
17.            cin >> a[i][j];
18.        }
20.        cout << endl;
21.    }
23.    for(int i = 0; i < n - 1; i++)
24.    {
25.        for(int j = i + 1; j < n; j++)
26.        {
27.            if(a[i][j] != a[j][i])
28.            {
29.                isSymmetrically = false;
30.                break;
31.            }
32.            else
33.            {
34.                isSymmetrically = true;
35.            }
36.        }
38.        if (isSymmetrically == false)
39.        {
40.          break;
41.        }
42.    }
44.    if (isSymmetrically == true)
45.    {
46.        cout << "YES" << endl;
47.    }
48.    else
49.    {
50.        cout << "NO" << endl;
51.    }
53.    return 0;
54. }