Функция вычисления арктангенса есть. Остальные можно выразить через арктангенс. Пусть х - число которое вводится в приемное поле калькулятора, у - это то, значение, которое мы выводим в поле ответа калькулятора.
1) arcsin 
if abs(x)<1 then
   y:=arctan(x/sqrt(1-x*x)
   else y:=Pi*x;

2) arccos 
y:=arctan(sqrt(1-x*x)/x);
if x<0 then y:=Pi+y;

3) arctg
y:=arctan(x);

4) arcctg
if x=0 then y:=Pi else y:=arctan(1/x);
if x<0 then y:=Pi+y;

5) n! 
y:=1;
for i:=1 to x do  y:=y*i;

6) %
y:=x/100

Следует при проверке иметь ввиду, что арксинус и арккосинус могут быть только в пределах от -1 до 1. Другие значения вводить нельзя. Или надо добавить проверку на корректность входных данных.