Анатолий Соловьёв родился 16 января 1948 года в городе Рига, Латвия. Вырос­ в семье рабочего. В 1964 году окончил 9 классов средней школы №15 города Рига. В 1966 году окончил 11 классов вечерней школы. Во время учебы в вечерней школе работал рабочим на Рижском заводе стройматериалов, а с сентября 1964 по июль 1967 года работал слесарем на камвольном производственном объединении.

    В 1967 году поступил на физико-­математический факультет Латвийского государственного университета, но, не окончив первый курс, оставил университет для подготовки к поступлению в авиационное училище. С марта по август 1968 года работал слесарем в Латвийском объединенном авиаотряде. С августа 1968 по октябрь 1972 года ­ курсант Черниговского высшего военного авиационного училища летчиков имени Ленинского комсомола.

    Совершил свой первый космический полет с 7 по 17 июня 1988 года в качестве командира ОК «Мир» по советско­болгарской программе «Шипка». Стартовал на корабле «Союз ТМ­5», посадка на «Союз ТМ­4». Продолжительность полета составила 9 суток 20 часов 9 минут 19 секунд.

    Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 июня 1988 года за успешное осуществление космического полёта и проявленные при этом мужество и героизм Анатолию Яковлевичу Соловьёву присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" .

    В период с 11 февраля по 9 августа 1990 года совершил свой второй космический полет в качестве командира 6­й основной экспедиции на ОК «Мир», вместе с Александром Николаевичем Баландиным. Во время полета выполнил два выхода в открытый космос. Продолжительность полета составила 179 суток 01 час 17 минут 57 секунд.

    Свой третий космический полет совершил с 27 июля 1992 по 1 февраля 1993 года в качестве командира 12­й основной экспедиции на ОК «Мир», вместе с Сергеем Васильевичем Авдеевым. Во время полета совершил четыре выхода в открытый космос. Продолжительность полета составила 188 суток 21 час 41 минута 15 секунд.

    В 1995 году с 27 июня по 11 сентября совершил свой четвертый космический полет в качестве командира ОК «Мир», вместе с Николаем Михайловичем Будариным. Стартовал на шаттле Atlantis SТS­71, посадку совершил на КК «Союз ТМ­21». Во время полета совершил три выхода в открытый космос. Продолжительность полета составила 75 суток 11 часов 20 минут 21 секунда.

    В качестве командира ОК «Мир» с 5 августа 1997 по 19 февраля 1998 года совершил свой пятый космический полет вместе с Павлом Владимировичем Виноградовым. Во время полета совершил семь выходов в открытый космос. Продолжительность полета составила 197 суток 17 часов 34 минуты 36 секунд.

    Уволен из Вооруженных Сил по возрасту в январе 1999 года.  Отчислен из отряда космонавтов в феврале 1999 года в связи с увольнением в запас из вооруженных сил. Награжден орденом Ленина , орденом Октябрьской Революции , орденом Дружбы народов , орденом «За заслуги перед Отечеством» II  и III  степени, орденом «За усердие во благо Отечества», орденом Георгия Димитрова, орденом «Воинская слава» и орденом Дружбы и Сотрудничества, медалями, а так же двумя медалями НАСА «За космический полет». Герой Народной Республики Болгария.