Размещено 6 лет назад по предмету Математика от kate199709

Помогите, пожалуйста, решить интеграл

Ответ на вопрос

Ответ на вопрос дан Wayer

Ребят, это же не школьная программа, ставьте хотя бы вознаграждение соответствующее.

Основная задача подобных интегралов - привести их к простому виду.

К примеру, в числителе можно отнять и прибавить единицу, чтобы можно было разбить на простые.

∫ $frac{ e^{4x}}{ e^{x} -1}$ dx = ∫ $frac{(e^{4x} - 1) + 1}{ e^{x} -1}$ dx = ∫ $frac{(e^{4x} - 1)}{ e^{x} -1}$ dx + ∫ $frac{1}{e^{x} -1}$ dx

Далее рассмотрим интегралы по отдельности:

1) $e^{4x}$ - 1 = ( $e^{2x}$ - 1)( $e^{2x}$ + 1) =  ( $e^{x}$ - 1)( $e^{x}$ + 1)( $e^{2x}$ + 1)

Разделим (1) на ( $e^{x}$ - 1) и получим:

( $e^{x}$ + 1)( $e^{2x}$ + 1) = $e^{3x}$ + $e^{2x}$ + $e^{x}$ + 1

Откуда интеграл  ∫ $frac{(e^{4x} - 1)}{ e^{x} -1}$ dx плавно превращается в ∫( $e^{3x}$ + $e^{2x}$ + $e^{x}$ + 1)dx или в сумму интегралов:

∫ $e^{3x}$ dx + ∫ $e^{2x}$ dx + ∫ $e^{x}$ dx + ∫1dx

Запишем их первообразные:

1) ∫ $e^{3x}$ dx = 1/3 * $e^{3x}$ + С (любая константа)
2) ∫ $e^{2x}$ dx = 1/2 * $e^{2x}$ + С (любая константа)
3) ∫ $e^{x}$ dx = $e^{x}$ + С (любая константа)
4) ∫1dx = x + C (любая константа)

Возвращаемся в начало и разберемся с интегралом ∫ $frac{1}{e^{x} -1}$ dx:

5) ∫ $frac{1}{e^{x} -1}$ dx =  ∫ $( e^{x} -1)^{-1}$ dx

В инете есть куча табличек по производным и первообразным, советую их заучить. Производная ln`(x) = ln(x)*x. Воспользуемся этим логарифмом и получим:

5) ∫ $( e^{x} -1)^{-1}$ dx = ln(1 - $e^{x}$ ) - x + C (любая константа)

А теперь суммируем (1) (2) (3) (4) (5) и получаем ответ:

1/3 * $e^{3x}$ + 1/2 * $e^{2x}$ + $e^{x}$ + x + ln(1 - $e^{x}$ ) - x + C (любая константа) = 1/3 * $e^{3x}$ + 1/2 * $e^{2x}$ + $e^{x}$ + ln(1 - $e^{x}$ ) + C
1. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан kate199709
  
  Спасибо Вам большое! Очень помогли!
2. Ответ на вопрос
  
  Ответ на вопрос дан kate199709
  
  Про баллы Вы правы. Просто не заходила давно сюда, поэтому на выставление баллов не обратила внимание. Ещё раз благодарю Вас! Всё доступно и понятно объяснили)