В правильной четырехугольной призме площадь основания равна 10, а боковое ребро 3√10. Найдите расстояние между стороной основания и диагональю призмы, не пересекающейся с ней.

––––––––––––––––––––––––––––

На рисунке, данном в приложении, сторона основания и диагональ призмы, не пересекающаяся с ней –  прямые АД и А1С. Они скрещивающиеся.

 Определение: Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

Через диагональ призмы А1С и сторону ВС  проведем  плоскость  ВСД1А1. Плоскость содержит ВС║ АД, значит, она параллельна АД ( по т. о параллельности прямой и плоскости).  

Длина перпендикуляра, опущенного на эту плоскость  из любой точки на  прямой АД – есть искомое расстояние. 

Отметим на АД точку М. 

Проведем  отрезок МК║ДД1 и отрезок  МН║ ДС. Они будут взаимно перпендикулярны. Соединив К и Н, получим прямоугольный треугольник КМН, в котором гипотенуза КН лежит  в плоскости ВА1Д1Д. Следовательно, высота МО этого треугольника – расстояние между АД и плоскостью, содержащей диагональ призмы.                  

 По т.Пифагора найдем КН. 

КН=СД1, МН=ДС, КМ=ДД1

КН=√(KM²+MH²)=√190

S ∆ CДД1=СД•ДД1:2=10√10):2

S ∆ CДД1=МО•КН:2

МО=2 S ∆СДД1:КН=10√10):√190=10/√19 - искомое расстояние.

 Тот же результат получим, если из прямого угла Д грани ДСС1Д1 опустим перпендикуляр на СД1 или из А – на ВА1, т.к., если прямая  параллельна плоскости, то все точки этой прямой равноудалены от той плоскости.