Решение 1.

Рассмотрим каждую вершину куба. В ней сходятся три грани некоторых цветов. Рассмотрим каждый вариант:

3 белых грани или 3 черных (есть хотя бы три общих ребра одного цвета), 2 белых и 1 черная (2 белых грани образуют общее ребро) и 1 белая и 2 черных грани (2 черные грани образуют такое ребро).

Делаем вывод, что во всех случаях найдутся две грани с общим ребром, что и требовалось доказать.

Решение 2.

Проведем доказательство от противного. Представим, что существует такой куб, у которого не на найдутся две грани с общим ребром. Подумаем, сколько у него может быть белых граней (аналогичное рассуждение можно провести и относительно черных граней).

Понятно, что не 6 и не 0, иначе у нас все бы грани были одноцветные и нашлось бы такое ребро. И не 2 и 4, так как две грани одного цвета, чтобы они не образовывали такое ребро, будут находиться на противоположных сторонах куба. Но тогда остальные грани образуют целых 4 таких ребра. Остается 1 вариант: 3 белых грани, но и такое не может быть, потому что первые две белые грани мы разместим на противоположных сторонах куба, а для третей не останется подходящего ей места.

Ни один из случаев не имеет места быть. Следовательно, действительно, такой куб не может существовать.