3.1. Рассмотрим высоту h прямоугольного треугольника. Она равна среднему геометрическому отрезков гипотенузы, на которые гипотенузу разбила данная высота(в нашем случае отрезки r и s). То есть
 

Мы получили искомую пропорцию. Напомню, что данным свойством обладает лишь высота, проведённая из вершины угла. Далее мы использовали лишь арифметические действия, чтобы выразить то, что нужно было найти.

3.3. Здесь можно использовать соображения подобия двух прямоугольных треугольников. В самом деле, смотрите рассмотрим два треугольника: один большой, сторонами которого являются a,b,c. Второй же поменьше, его сторонами являются h,b и s. Оба треугольника имеют по прямому углу(то видно из рисунка) + один общий угол(для рисунка это самый правый угол), то есть они подобны(по двум углам - это первый признак подобия треугольников). Из подобия вытекают отношения сходственных сторон: их можно получить, если маленький треугольник мысленно развернуть так, чтобы гипотенуза его налегла на гипотенузу большого треугольника. Тогда мы видим, что имеет место равенство отношений:
 , что собственно и требовалось получить.

3.4. Здесь вместо пропуска надо подставить катет а.
   Это следует из того, что в прямоугольном треугольнике
   , откуда