Схема исследования функции:
1) Область определения D(X) = (0; +oo) (из-за логарифма).
2) Четность - ни четная, ни нечетная. Функция общего вида.
3) Периодичность. Непериодическая.
4) Непрерывность. Непрерывна на всей обрасти определения.
5) Нули функции. x*ln^2 x = 0
x > 0, можно на него разделить
ln^2 x = 0; ln x = 0; x = 1
6) Критические точки.
y ' = ln^2 x + x*2ln x*(1/x) = ln^2 x + 2ln x = ln x*(ln x + 2) = 0
ln x = 0; x1 = 1; y(1) = 0 - минимум
ln x = -2; x2=1/e^2≈0,135; y(1/e^2)=1/e^2*(-2)^2=4/e^2≈0,541 - максимум
7) Промежутки монотонности.
При x ∈ (0; 1/e^2) будет y ' > 0 - возрастает
При x ∈ (1/e^2; 1) будет y ' < 0 - убывает
При x ∈ (1; +oo) будет y ' > 0 - возрастает
8) Точки перегиба.
y '' = 1/x*(ln x + 2) + ln x*1/x = 2/x*ln x + 2 = 0
Делим всё на 2
1/x*ln x + 1 = 0
1/x*ln x = -1
ln x = -x
x0 ≈ 0,567 - это можно найти только подбором или графически.
Никаких формул для нахождения корня тут нет.
y(x0) = x0*ln^2 (x0) = x0*(-x0)^2 = x0^3 ≈ 0,182
9) Промежутки выпуклости и вогнутости.
При x ∈ (0; 0,567) будет y '' < 0 - выпуклый вверх
При x ∈ (0,567; +oo) будет y '' > 0 - выпуклый вниз
10) Пределы
lim(x-> 0) x*ln^2 x = 0
lim(x-> +oo) x*ln^2 x = +oo
11) Асимптоты.
Вертикальных асимптот (разрывов функции) нет.
Горизонтальные и наклонные асимптоты
f(x) = kx + b
k = lim(x->oo) (y/x) = lim(x->oo) ln^2 x = +oo
Асимптот нет.
12) Область значений функции. Это можно найти, только исследовав все остальное, поэтому это последний пункт.
y ∈ [0; +oo)
График я примерно изобразил на рисунке.